Модулярные функции --- суть те же мероморфные функции, но на комплексных кривых специального вида, а модулярные формы (различных весов) на этих кривых аналогичны однородным многочленам на комплексной проективной прямой. Оказывается, что пространства модулярных форм каждого веса конечномеры и существуют алгоритмы для вычисления из базисов. Такое "хорошее поведение" модулярных форм делает их теорию, располагающуюся на границе математического анализа и алгебры, чрезвычайно элегантной.

Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов, нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании функции Рамануджана , в доказательствах иррациональности значения дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.

Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.), иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.

Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.

Конечно, невозможно рассказать обо всем этом в нашем кратком курсе. Однако, мы попробуем разобраться с основными определениями и классическими результатами в теории модулярных функций/форм, что послужит для заинтересованных слушателей основой для дальнейшего изучения предмета.

• Серр, Жан-Пьер. "Курс арифметики.", 1972.
• Коблиц, Н. "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы." (1988).
• Ленг, С. "Введение в теорию модулярных форм." (1979).
• Шимура, Г. "Введение в арифметическую теорию автоморфных функций." (1973).
• Milne, J. "Modular Functions and Modular Forms."