Модулярные формы и их приложения.
Телеграм канал курса: здесь
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб).
Если вы хотите посещать курс, пожалуйста, зарегистрируйтесь
здесь, даже если вы регистрировались в прошлом семестре!.
Ссылка на zoom сессию будет отправлена на ваш email адрес.
Уровень сложности.
Курс рассчитан на широкий круг слушателей,
обладающих знаниями в объеме обязательных матмеховских курсов алгебры и анализа (ТФКП). Организация.
Курс будет проводиться в смешанном формате. Часть лекций будет прочитана в zoom, часть --- очно.
Несмотря на это, мы будем рады видеть также "удаленных" слушателей.
Мы будем стараться, по возможности, предоставить удаленный доступ ко всем лекциям.
Однако начнем мы с рассказа о такой интересной и важной области, тесно связанной с модулярными формами,
как эллиптические кривые и функции. Необходимые факты о модулярных формах будут рассказаны (напомнены)
в рамках курса. Поэтому, пришлашаются, также, заинтересованные слушатели, не посещавшие первой части курса.
Эллиптические криивые и эллиптические функции также играют чрезвычайно важную роль в современной математике.
Например, доказательство Эндрю Вайлсом (Andrew Wiles) Великой Теоремы Ферма является, по сути, доказательством частного случая гипотезы
Таниямы--Вейля, связывающей эллиптические кривые с теорией модулярных форм.
Приведем некоторые отрывки из анонса первой части курса, посвященные, в основном, приложениям теории модулярных форм.
Анонс.
... Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях
математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов,
нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании
функции Рамануджана , в доказательствах иррациональности значения
дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.
... Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.),
иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой
спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.
...Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.
Модулярные формы:
- Серр, Жан-Пьер. "Курс арифметики.", 1972.
- Коблиц, Н. "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы." (1988).
- Ленг, С. "Введение в теорию модулярных форм." (1979).
- Шимура, Г. "Введение в арифметическую теорию автоморфных функций." (1973).
- Milne, J. "Modular Functions and Modular Forms."
Эллиптические кривые и эллиптические функции:
- Milne, J. "Elliptic Curves."
- Коблиц, Н. "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы." (1988).
- Ленг С. "Эллиптические функции" (1984)
- Прасолов В., Соловьев Ю. "Эллиптические функции и алгебраические уравнения." (2022)
Материалы первого семестра курса и видео-записи лекций доступны здесь.
Лекции:
- Эллиптические кривые и эллиптические функции. Введение. 05.09.23
(видео)
- Задача о конгруэнтных числах. Двоякопериодические функции --- общие результаты. 12.09.23
(видео)
- Функция Вейерштрасса и ее свойства. 19.09.23
(видео)
- Структура абелевой группы на эллиптической кривой 26.09.23
(видео)
- Точки конечного порядка на эллиптических кривых 03.10.23
(видео)
- Рациональные точки на эллиптических кривых.
Группа кручения. 10.10.23
(видео)
- Ранг эллиптической кривой. Определение конгруэнц дзета-функций. 17.10.23
(видео)
- Суммы Гаусса и Якоби и их приложения. 24.10.23
(видео)
- Вычисление конгруэнц дзета-функций эллиптической кривой. 31.10.23
(видео)
- Соотношение Хассе-Дэвенпорта и вычисление конгруэнц дзета-функций. (продолжение) 07.11.23
(видео)