Пучки и их когомологии.




Внимание! Приглашаем всех желающих на семинары в ПОМИ 6 декабря с 18:00 и 10го с 16:00.


Телеграм канал курса: здесь
Лекции проходят по вторникам с 19:00 (время СПб).
Если вы хотите посещать курс, пожалуйста, зарегистрируйтесь здесь.
Уровень сложности. Курс рассчитан на широкий круг слушателей, обладающих знаниями в объеме 1-2 курсов программы матмеха по алгебре и анализу. Также необходимы базовые познания в теории категорий.
Знание гомологической алгебры приветствуется, но не является необходимым...
Организация. Курс будет проводиться в смешанном формате. Часть лекций будет прочитана в zoom, часть --- очно. Несмотря на это, мы будем рады видеть также "удаленных" слушателей. Мы будем стараться, по возможности, предоставить доступ к записям всех лекций. Некоторые занятия будут проводиться в форме семинаров, так что появится возможность не только послушать лекции о пучках, но и самим что-нибудь о них рассказать.



Определения многих важных математических понятий даются на двух уровнях: локальном и глобальном. Обычно на локальном уровне рассматривают достаточно просто устроенные объекты, такие как векторные пространства, сходящийеся ряды, кольца, и т.д., а почти вся сложность глобального объекта задается правилами (данными склейки), по которым локальные объекты склеиваются в глобальный. На этом пути возникают такие важные понятия, как векторное расслоение, аналитическое многообразие, схема ...

Сразу же оказывается, что свойства глобального объекта могут радикально не совпадать со свойствами локальных. Так, например, хорошо известна теорема о "причесывании ежа": не существует нигде не обращающегося в ноль непрерывного касательного векторного поля на двумерной сфере. Здесь локальными объектами являются касательные пространства к сфере в каждой ее точке, которые, по отдельности, конечно, имеют большой запас ненулевых векторов. Эта теорема неразрывно связана с топологическими свойствами пространства, на котором рассматривается векторное поле. Так, например, аналогичное утверждение для трехмерной сферы оказывается уже неверным.

Теория пучков занимается аксиоматизацией и изучением общих свойств объектов, построенных подобным образом. При этом, сразу же обнаруживается, что "самый важный функтор" на категории пучков -- функтор глобальных сечений, является точным лишь с одной стороны. Попытки понять, как работать с таким функтором, приводят к необходимости построения теории когомологий пучков. С точки зрения этой теории, обычная гомологическая алгебра оказывается, по сути, теорией, изучающей когомологии пучка над одноточечным пространством.

В современной математика пучки возникают почти на каждом шагу: алгебраическая геометрия, топология, математический анализ, математическая физика и дифференциальные уравнения --- это далеко не полный перечень. Таким образом, владение методами теории пучков позволяет не только лучше понимать различные разделы математики, но и видеть глубокие связи и взаимоотношения между ними.

Лекции:


Семинары:

6 декабря 2024

10 декабря 2024