Основы гомотопической алгебры.
Внимание! Приглашаем всех желающих на семинары 5 и 12 декабря в 17:00 в ПОМИ.
Телеграм канал курса: здесь
Лекции проходят по четвергам с 19:00 (время СПб).
Первая лекция запланирована на 12 сентября 2024 г. в ПОМИ (Комната 311)
Если вы хотите посещать курс, пожалуйста, зарегистрируйтесь
здесь.
Ссылка на zoom сессию будет отправлена на ваш email адрес.
Уровень сложности.
Курс рассчитан на широкий круг слушателей,
обладающих базовыми познаниями в алгебраической топологии и теории категорий.
(1-2 курса программы матмеха.)
Организация.
Курс будет проводиться в смешанном формате. Часть лекций будет прочитана в zoom, часть --- очно.
Несмотря на это, мы будем рады видеть также "удаленных" слушателей.
Мы будем стараться, по возможности, предоставить доступ к записям всех лекций.
Некоторые занятия будут проводиться в форме семинаров, так что появится возможность не только послушать
лекции о гомотопической алгебре, но и самим что-нибудь о ней рассказать.
Гомотопии и гомологии относятся, пожалуй, к числу наиболее часто упоминаемых
топологических инвариантов. Несколько неформально можно сказать, что гомологии
возникают, как "линеаризация" гомотопий. При этом, группы гомологий, обычно, вычисляются
значительно проще, чем группы гомотопий. Самый известный пример к этомы тезису, вероятно, сферы.
Понятие цепного комплекса, ключевого для вычисления групп гомологий, довольно быстро перешло в алгебру,
и привело к возникновению части математики, называемой ныне гомологической алгеброй.
Построение алгебраического аналога теории гомотопий оказалось несколько более сложной задачей.
В данном курсе мы постараемся рассказать о том, как же это происходило, и что, в итоге,
из всего этого вышло --- теория модельных категорий.
В последние десятилетия гомотопические матоды активно используются в самых различных областях математики,
включая, например, математическую логику и автоматическую верификацию теорем. Поэтому, понимание того, как
построить теорию гомотопий на уровне категорий, будет полезно для математиков самых разных направлений.
От слушателей курса потребуется знание базовых понятий теории категорий, желательно (но не обязательно) также
представление о гомологической алгебре.
Лекции:
- Введение. Определение модельных категорий. 12.09.24
(видео)
- Базовые свойства модельных категорий. Цилиндр и левая гомотопия. 26.09.24
(видео)
- Свойства левых гомотопий. Пространства путей и правая гомотопия. 03.10.24
(видео)
- Связь правых и левых гомотопий. Резольвенты. 10.10.24
(видео)
- Локализация модельных категорий. Примеры из топологии. 17.10.24
(видео)
- Расслоения и корасслоения. Различные модельные структуры. Двойственность Экманна-Хилтона. 24.10.24
(видео)
- Модельная структура на категории комплексов. 31.10.24
(видео)
- Принцип малого объекта. 07.11.24
(видео)
- Симплициальные объекты. Производные функторы. 14.11.24
(видео)
- Гомотопические пределы. 21.11.24
(видео)
Семинары:
5 декабря 2024
- Даниил Кузаков. Модельные категории и ∞-категории. (A survey of (∞, 1)-categories J. Bergner.)
- Иван Насонов. Cat as a closed model category -- по статье Thomason, R. W.
- Роман Елисеев. Теорема Дольда-Кана.
- Алексей Львов. Модельная структура на DG-алгебрах и Q-гомотопический тип.
12 декабря 2024
- Сергей Архипов. The model structure for chain complexes. -- по статье N.P.Strickland.
- Иван Васильев. Homotopy Theory of Bicomplexes. -- по статье F.Muro, C.Roitzheim
- Иван Гайдай-Турлов. Когомологии Andre-Quillen'а.
Литература.
- Quillen, Daniel G. "Homotopical Algebra." Lecture Notes in Mathematics (1967).
- Dwyer, William G., and Jan Spalinski. "Homotopy theories and model categories."
Handbook of algebraic topology 73. no 126 (1995): p.21.
- Dwyer, William G., Philip Hirschhorn, and Daniel Kan. "Model categories and more
general abstract homotopy theory: a work in what we like to think of as progress." (1997).
preprint (1997).
- Thomas, Jean-Claude, and Micheline Vigué-Poirrier.
"Daniel Quillen, the father of abstract homotopy theory." Journal of K-theory 11.3 (2013): 479-491.